Le Prix André Aisenstadt 2025 est décerné à Carlo Pagano

Depuis l’époque de Fermat, on sait que pour tout entier positif d, qui n’est pas un  carré parfait, l’équation de Pell x^2-dy^2=1 a un nombre infini de solutions dans les entiers x,y. Dirichlet était curieux de savoir pour quel nombre d il existe des solutions à x^2-dy^2=-1 (l’« équation de Pell négative »), et Stevenhagen a donné une conjecture très précise pour le nombre de ces d jusqu’à D. Cette conjecture a été prouvée par Koymans et Pagano. Leur preuve développe  des idées de la preuve d’Alexander Smith de la conjecture de Goldfeld (pour la distribution des rangs des tordues quadratiques des courbes elliptiques).

L’une des grandes percées de la logique du XXe siècle a été la résolution du 10e problème de Hilbert par Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson et Yuri Matijasevic en 1970, qui a montré qu’il n’existe pas d’algorithme général capable de décider si une équation diophantienne donnée a une solution dans les nombres entiers. De manière surprenante, la preuve ne s’étend pas à d’autres anneaux de nombres, ce qui est resté mystérieux depuis lors. Des travaux récents d’Alexandra Shlapentokh ont permis de réduire ce problème à la recherche de courbes elliptiques sur n’importe quel corps de nombres dont le rang n’augmente pas à travers une extension donnée du corps. En 2024, Koymans et Pagano ont construit de telles courbes elliptiques en utilisant une version du théorème de Green et Tao sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques, mais maintenant sur des corps de nombres (grâce à Kai), et ainsi le 10e problème de Hilbert est résolu sur tous les anneaux de nombres.

Ces percées décisives témoignent de l’instinct infaillible de Carlo pour identifier les problèmes importants qui sont proches d’une résolution, ainsi que de sa force et de sa ténacité pour trouver des solutions complètes et définitives.