Résumés École Langlands 2025

Le but de ce cours est d’apprendre ce que sont les algèbres amassées et d’étudier quelques-unes de leurs propriétés. Nous nous concentrerons sur les algèbres amassées issues de surfaces, car elles sont faciles à visualiser et à manipuler. La première partie est une courte introduction aux algèbres amassées ; la deuxième partie sera consacrée aux algèbres amassées issues de surfaces, en particulier aux formules d’expansion des variables amassées. Les formules d’expression nous permettent de calculer directement une variable amassée plutôt que récursivement.

Le théorème de géométrisation de Thurston, démontré par Perelman, permet d’étudier la topologie des variétés de dimension trois grâce au secours de la géométrie. Il est célèbre pour avoir permis de résoudre (entre autre) la conjecture de Poincaré (portant sur une caractérisation des sphères en dimension trois). L’objectif de ce mini-cours est de découvrir les modèles géométriques impliqués dans le théorème de Thurston. Au nombre de huit, ces géométries mettent parfois à mal nos intuitions issues de la géométrie euclidienne. On y croisera les géométries sphérique, hyperbolique, et d’autres peut-être plus exotique comme Nil ou Sol. On verra entre autre comment la nature de ces géométries se reflètent dans les propriété algébrique de leur groupe d’isométries. Le cours sera illustré par des simulations de ce que verraient les habitants de ces mondes fascinants.