Exposés École Langlands 2023

Le but de ce mini-cours est la construction explicite d’un plongement isométrique de classe C^1 du disque de Poincaré. Ce disque possède une courbure constante négative et constitue un modèle de la géométrie hyperbolique. Il résulte des travaux de David Hilbert (1901) puis de Nikolai Efimov (1964) que ce disque ne peut pas être plongé isométriquement de façon C^2 dans l’espace ambiant. Cependant, et contre toute attente, un tel plongement est possible en régularité C^1. Ce résultat, démontré par Nicolaas Kuiper, s’appuie de façon cruciale sur les travaux de John Nash (1954). Quinze ans plus tard, Mikhaïl Gromov généralise les idées de Nash et de Kuiper et ouvre la voie à la construction explicite de plongements isométriques de classe C^1. Celle du disque de Poincaré vient d’être achevée récemment. Nous en découvrirons les surprenantes propriétés.

La cryptographie est l’art et la science d’obscurcir un message afin qu’aucun, sauf le destinataire prévu, puisse le lire. Au fil de l’histoire, de César au deuxième guerre mondiale, les gens ont créé des chiffrements de plus en plus exotiques – et des stratégies d’attaques de plus en plus riches en mathématiques. La découverte de la cryptographie à clé publique – chaque exemple duquel profite directement de la difficulté d’un problème mathématique – a déclenché le pouvoir de créer la communication sécrète sur l’internet. L’économie y dépend ; la commerce électronique est impossible sans cette étape de cryptographie. Mais on approche une nouvelle époque, celle de l’ordinateur quantique – et chacun des crypto systèmes sur lesquels on s’est basé ce derniers 30 années tombe à l’eau dès qu’un tel ordi assez puissant est construit. Cela entraine un nouveau défi pour la communauté mathématique : le développement des algorithmes de clé publique post-quantique.

Le but de ces trois cours est d’explorer les mathématiques de la cryptographie – d’hier, d’aujourd’hui, et de demain. Nous aborderons le sujet avec un survol historique de moments clés de la cryptographie dite symétrique, avant d’examiner le concept et les outils mathématiques (principalement algébriques) utilisés dans les systèmes de cryptographie à clé publique. Nous introduirons les pouvoirs d’un ordinateur quantique, afin de comprendre les enjeux, et ensuite analyser des divers nouveaux systèmes dites post-quantique – parmi lesquels on espère trouver une solution pour les prochaines 30 années de l’internet !

Qui parmi nous n’a pas déjà joué avec un logiciel qui dessine les ensembles de Julia de polynômes ? En expérimentant ainsi, on remarque que très souvent, lorsqu’on fait varier le polynôme, son ensemble de Julia varie de façon assez lisse, même si l’ensemble lui-même est extrêmement compliqué. En 1983, Mañé, Sad et Sullivan ont fourni une explication de ce phénomène, en introduisant la notion de mouvement holomorphe et en exploitant la ‘magie’ de l’analyse complexe. Le sujet a connu de nombreux développements intéressants depuis. Ce mini-cours se veut une introduction à ces idées. Voici un bref résumé du contenu :

• Cours #1 : Définition de mouvement holomorphe ; le lambda-lemma ; application aux systèmes dynamiques.
• Cours #2 : Variation du diamètre, de la dimension, de l’aire et de la capacité d’un mouvement holomorphe ; liens avec la théorie du potentiel.
• Cours #3 : Le lambda-lemma étendu et l’axiome du choix holomorphe ; applications quasi-conformes ; le measurable Riemann mapping theorem ; applications aux mouvements holomorphes.