Décomposer une série chronologique, c’est comme ouvrir le mécanisme d’une montre pour comprendre comment chaque rouage contribue au mouvement global. Cette opération permet de mieux comprendre les structures cachées derrière les données observées.
Pour illustrer ce processus, prenons l’exemple des cas de dengue enregistrés dans une région sur plusieurs années. La dengue est une maladie virale transmise par des moustiques infectés, et qui est courante dans les régions tropicales. Les symptômes s’apparentent généralement à ceux d’une grippe sévère.
Article daté du 23 avril 2024.
La série chronologique représentant l’évolution des cas peut être scindée en trois composantes principales :
- Tendance dans le temps \((T_t)\) : Elle reflète l’évolution générale à long terme. Par exemple, les nombres de cas de dengue augmentent année après année indépendamment des saisons. Cela représente une tendance générale à la hausse de la série. En effet, du fait des changements climatiques, les maladies à transmission vectorielle sont de plus en plus fréquentes et elles augmentent progressivement en nombre, même dans des régions qui n’étaient pas touchées auparavant.
- Saisonnalité \((S_t)\) : Certaines maladies présentent des variations régulières au cours de l’année. Dans le cas de la dengue, les cas augmentent surtout pendant la saison chaude et s’atténuent en hiver. Ces motifs saisonniers se répètent à intervalles fixes, formant un cycle annuel reconnaissable dans la série.
- Résidus (fluctuations aléatoires) \((ε_t)\) : Enfin, certaines variations sont moins régulières et plutôt imprévisibles. Ces perturbations représentent la composante aléatoire de la série. Ces fluctuations inattendues, ou « bruit », ne suivent ni les tendances générales ni les évolutions saisonnières.
Décomposer une série chronologique complexe, comme celle des cas de dengue, en ses éléments constitutifs facilite son analyse et permet d’effectuer des prédictions.
Cette méthode peut être généralisée à d’autres maladies pour observer les données sous différents angles, chacun mettant en lumière un aspect spécifique du phénomène étudié. Elle aide ainsi à formuler des stratégies de santé publique plus ciblées et plus efficaces.
Selon la nature des données, on peut représenter la série soit en additionnant, soit en multipliant ses composantes. Cette décision repose sur la façon dont les éléments interagissent entre eux dans la série observée.
- Le modèle additif : Si les effets saisonniers et les tendances semblent stables au fil du temps, un modèle additif de la forme \(y_t = T_t + S_t + \varepsilon_t\) est souvent approprié. Cela signifie que les variations saisonnières ou le bruit ne dépendent pas du niveau de la tendance. Par exemple, si les fluctuations saisonnières des cas de dengue restent similaires en 2010 et en 2020.
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Le modèle multiplicatif : Pour les séries où les fluctuations saisonnières varient en fonction du niveau de la tendance, un modèle multiplicatif de la forme \(y_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t\) est préférable, indiquant que l’effet de la saisonnalité s’accroît avec la tendance. Si les données sont positives, on peut transformer un modèle multiplicatif en un modèle additif, en considérant la série :
$$\log y_t = \log T_t + \log S_t + \log \varepsilon_t$$
Un exemple pratique
L’application Shiny suivante propose une visualisation interactive d’une série temporelle observée et de sa décomposition en ses composantes « Tendance dans le temps », « Saisonnalité » et « Fluctuations aléatoires ».
Voici les manipulations que vous pouvez faire dans l’application :
- Choisir le type de modèle : permet de basculer entre le modèle additif et le modèle multiplicatif.
- Explorer les composantes de la série : en survolant les graphiques avec le pointeur, il est possible de consulter les valeurs exactes de chaque composante (série observée, tendance, saisonnalité, bruit) pour une date donnée.
- Modifier la période affichée : avec le curseur, il est possible de zoomer sur une section spécifique de la série et de mieux apprécier l’évolution et la relation entre des composantes.