Le modèle ARMA (AutoRegressive Moving Average) combine les forces des deux approches précédentes :
- la partie autorégressive (AR) capture la dépendance directe entre les valeurs passées et la valeur actuelle ;
- la partie moyenne mobile (MA) corrige ces prédictions à l’aide des erreurs commises lors des périodes précédentes.
Cette combinaison rend le modèle plus flexible : il peut représenter à la fois les mémoires longues (effets persistants du passé) et les ajustements rapides dus aux fluctuations aléatoires.
Un modèle ARMA d’ordre (p,q), noté ARMA(p,q), s’écrit :
où : 
- \(y_t\) est la valeur observée de la série au temps \(t\) ;
- \(\mu\) représente la moyenne du processus ;
- \(\phi_i\) désigne les coefficients autorégressifs, qui mesurent l’influence directe des valeurs passées ;
- \(\theta_j\) correspond aux coefficients de moyenne mobile, qui traduisent l’effet des erreurs passées ;
- \(\varepsilon_t\) est le bruit (terme aléatoire).
Dans un modèle ARMA bien spécifié, les coefficients d’autocorrélation partielle (théoriques) du AR et les coefficients d’autocorrélation (théoriques) du MA tendent vers 0 (en valeur absolue).
Un exemple pratique : illustration d’un modèle ARMA(p,q)
Pour illustrer ce type de modèle, considérons une série simulée selon l’équation suivante :
$$y_t = 10 + 0,9(y_{t-1} – 10) – 0,5(y_{t-2} – 10) + \varepsilon_t – 0,2\varepsilon_{t-1} + 0,2\varepsilon_{t-2}$$
Cette équation correspond à un modèle ARMA(2,2).
- La série dépend de ses deux valeurs passées \((y_{t-1}, y_{t-2})\) et elle intègre les deux erreurs précédentes \((\varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t-2})\) pour affiner la prévision.
- Les coefficients autorégressifs \(\phi_1 = 0,9\) et \(\phi_2 = -0,5\) traduisent une forte mémoire temporelle avec un effet de rappel vers la moyenne : la série a tendance à osciller autour d’un niveau stable.
- Les coefficients de moyenne mobile \(\theta_1 = -0,2\) et \(\theta_2 = 0,2\) ajustent ces oscillations : les erreurs récentes corrigent partiellement les prévisions, tandis que les erreurs plus anciennes ont un effet atténué.
- La constante \(\mu = 10\) déplace la série autour d’une moyenne de 10.
Ces interactions créent une dynamique équilibrée entre mémoire et ajustement, typique des processus ARMA : la série reste stable autour d’une moyenne constante, mais présente des oscillations modérées et autocorrélées.
Représentation graphique de la série temporelle \(X_3\)
- La série \(X_3\) oscille autour d’une moyenne stable d’environ 10, avec des variations ni purement aléatoires ni totalement régulières. Ces fluctuations traduisent l’équilibre entre la persistance du passé (effet AR) et la correction des erreurs précédentes (effet MA).
- Les variations restent modérées et autocorrélées, caractéristiques d’un processus ARMA.
Représentations graphiques des fonctions ACF et PACF de la série \(X_3\)
- Les graphiques des fonctions ACF et PACF apportent des indices sur la structure temporelle de la série \(X_3\).
- On observe :
- Deux pics aux décalages 1 et 2 dans les deux fonctions, ce qui traduit l’influence directe des deux valeurs et des deux erreurs passées, conformément à la structure d’un modèle ARMA(2,2).
- Une disparition rapide des corrélations au-delà du lag 2, confirmant une mémoire temporelle limitée : les observations plus anciennes n’exercent plus d’effet significatif.
- De légères oscillations dans l’ACF peuvent suggérer un motif pseudopériodique, mais il ne s’agit pas d’une véritable saisonnalité.
- Ces profils sont cohérents avec un processus ARMA : l’information temporelle se concentre sur les premiers décalages, et la dépendance s’atténue ensuite autour de zéro.
Remarque importante à propos de l’utilité pratique des fonctions ACF et PACF
Dans les exemples simulés, l’équation du modèle sous-jacent est connue. En pratique, ce n’est pas le cas : l’analyse des courbes ACF et PACF constitue la première étape de l’identification d’un modèle de série chronologique.
Ces graphiques permettent :
- de repérer des structures temporelles récurrentes dans les données ;
- de formuler des hypothèses sur le type et la structure de dépendance ;
- d’estimer les ordres du modèle (p et q).
Ainsi, l’interprétation visuelle de ces fonctions offre une première orientation sur la nature du processus générateur des données, avant de passer à l’étape de modélisation et de validation.
Un exemple pratique : exploration des modèles ARMA
L’application Shiny ci-dessous permet d’explorer de manière interactive le comportement d’un modèle ARMA selon différents paramètres.
L’application permet de simuler et de visualiser une série temporelle de moyenne nulle selon un modèle ARMA(p,q) défini par vos propres paramètres.
Le curseur « Taille de la série simulée » permet de générer des séries plus ou moins longues (de 50 à 500 points).
- Ordre AR (p) : nombre de valeurs passées utilisées dans le modèle (effet mémoire).
- Ordre MA (q) : nombre d’erreurs passées prises en compte (effet correctif).
Chaque composante (AR et MA) peut prendre trois valeurs possibles : 0, 1 ou 2. Vous pouvez donc explorer plusieurs structures de modèles, par exemple : AR(1), MA(1) ou ARMA(2,1). Un AR(1) illustre une dépendance directe au dernier point observé. Un ARMA(2,1) présente des oscillations plus complexes, influencées à la fois par deux valeurs passées et une erreur précédente.
Selon les ordres choisis, des curseurs apparaissent pour ajuster les valeurs des coefficients de chaque composante.
- Les paramètres ϕ correspondent aux coefficients de la partie autorégressive (AR). Ils contrôlent la force et la direction de la dépendance temporelle :
- une valeur positive renforce la continuité (la série a tendance à poursuivre sa trajectoire) ;
- une valeur négative provoque des oscillations autour de la moyenne.
- Les paramètres θ correspondent aux coefficients de la partie moyenne mobile (MA). Ils modulent l’effet des erreurs passées sur les valeurs futures.
Le modèle par défaut correspond à un AR(1) avec un coefficient \(\phi_1 = 0,5\), et pas de composante MA.
Il est possible ensuite de modifier librement les ordres \(p\) et \(q\), ainsi que les coefficients, pour observer comment ces choix modifient la dynamique de la série.
Une fois les paramètres spécifiés, il faut cliquer sur « Simuler la série » pour générer la série ARMA et ses graphiques associés :
- l’évolution temporelle de la série simulée ;
- les fonctions d’autocorrélation (ACF) et d’autocorrélation partielle (PACF).
Une fois les figures générées, il est possible :
- d’agrandir avec la souris ;
- de déplacer la plage de visualisation ;
- de survoler chaque point pour afficher sa valeur exacte et sa date.
Cette interactivité permet d’examiner finement les variations locales de la série.
On sait que le modèle ARMA repose sur certaines conditions de stabilité pour être valide. L’application vérifie automatiquement ces conditions.
- Si elles ne sont pas respectées, le modèle est jugé instable :
- un message d’erreur s’affiche si la série ne peut pas être générée ;
- sinon, la série est produite, mais un message d’avertissement signale une non-stationnarité.
- Si les conditions sont satisfaites, un message confirme la stationnarité du processus.
À retenir
Cette simulation illustre plusieurs idées fondamentales :
- Les coefficients AR (ϕ) et MA (θ) contrôlent la mémoire et la régularité de la série.
- La stationnarité est une condition essentielle pour garantir la stabilité et la fiabilité des prédictions.
L’analyse visuelle des fonctions ACF et PACF fournit des indices précieux pour identifier la structure du modèle la mieux adaptée à une série réelle.