Lors de l’analyse des cas hebdomadaires de rougeole, à Londres, de 1944 à 1965, le modèle ARMA(2,1) s’est avéré le plus performant.
Que signifie ce choix de modèle ?
Le nombre de cas dépend uniquement de la moyenne globale.
La série varie de manière totalement aléatoire.
Les deux dernières valeurs observées et une erreur précédente influencent la valeur actuelle.
Le modèle prend en compte une tendance à long terme.
Le modèle ARMA(2,1) combine deux composantes autorégressives (AR) et une moyenne mobile (MA). Cela signifie que les cas récents ont un effet direct, mais aussi que les erreurs de prédiction passées contribuent à ajuster la dynamique observée.
Vous analysez une série temporelle représentant les admissions hospitalières hebdomadaires. Le test ADF rejette la présence d’une racine unitaire, tandis que le test KPSS ne rejette pas l’hypothèse de stationnarité.
Que pouvez-vous conclure ?
La série est non stationnaire.
Les tests sont contradictoires, la série doit être différenciée.
Il est impossible de conclure sans modèle ARMA.
La série est probablement stationnaire.
Les résultats des deux tests sont cohérents et indiquent que la moyenne et la variance de la série sont stables dans le temps. Étant donné que la condition de stationnarité est respectée, on peut procéder à la prochaine étape qui est la modélisation avec l’identification du meilleur modèle.
Une série de cas de dengue montre des périodes calmes suivies de flambées soudaines avec de fortes variations du nombre de cas.
Quel type de modèle serait le plus approprié pour représenter cette dynamique ?
Un modèle ARMA, car les relations sont linéaires et stables.
Un modèle GARCH, car la volatilité varie dans le temps.
Un modèle HMM, car les changements de régimes sont rapides.
Un modèle additif, car la tendance est constante.
Les modèles GARCH sont adaptés lorsque la variabilité de la série change au fil du temps : des périodes stables alternent avec des phases de grande instabilité, comme c’est souvent le cas lors des flambées épidémiques.
Une équipe de recherche utilise un modèle de Markov caché (HMM) à deux régimes pour étudier la dengue en Colombie. Le régime 1 correspond à une phase calme, et le régime 2 à une phase épidémique.
La matrice de transition estimée est :
$$Q = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$$
Que révèle cette matrice sur la dynamique du système ?
Le régime calme est plus persistant que le régime épidémique.
Les transitions entre régimes sont très fréquentes.
Les deux régimes ont des durées identiques.
Le régime épidémique est plus stable que le régime calme.
Avec \(Q_{11}\) = 0,9, le système a 90 % de chances de rester en phase calme d’une période à l’autre, tandis que \(Q_{22}\) = 0,7 montre que la phase épidémique est moins stable. Cette structure correspond à des systèmes où les épidémies sont de courte durée, interrompues par de longues périodes calmes.