Systèmes d’équations
Une fois que le modèle pharmacocinétique est établi, il reste à modéliser l’effet de cette concentration de médicament sur le corps ou la tumeur. Dans les modèles à plusieurs compartiments, on va souvent utiliser la concentration du compartiment central (c’est-à-dire dans le plasma) pour corréler avec l’effet observé. Il existe plusieurs modèles pour représenter l’effet d’un médicament, mais un des plus utilisés est l’équation de Hill qui relie la concentration dans le sang à l’effet à l’aide de la formule suivante :
\[E(t) = E_{min} + \frac{E_{max} ⋅ C_1(t)^h}{C_1(t)^h + EC^h_{50}}\]
Cette formule inclut l’effet minimal \[E_{min}\], l’effet maximal \[E_{max}\], la concentration à 50 % de l’effet maximal \[EC_{50}\], le coefficient de Hill \[h\] ainsi que la concentration du compartiment central \[C_1(t)\].
Cette courbe indique une croissance de l’effet lorsque la concentration augmente jusqu’à un maximum. Cependant, certains médicaments visent à inhiber leur cible tandis que d’autres veulent activer leur cible. Il est alors possible d’avoir la même courbe, mais décroissante, avec un coefficient de Hill \[h\] qui est négatif, ou encore en modifiant la fonction d’effet dans l’équation de la population.
Dans la première activité, l’équation de la croissance exponentielle d’une population était :
\[\frac{dX}{dt} = β ⋅ X(t)\,-\,δ ⋅X(t)\]
S’il y a un effet d’un médicament qui augmente le taux de mortalité des cellules, la fonction d’effet sera introduite comme ceci :
\[\frac{dX}{dt} = β ⋅ X(t)\,-\,δ ⋅ (1 + E(t)) ⋅ X(t)\]
Sous cette forme, sans médication, l’effet est 0 et le taux de mortalité reste \[δ\]. Cependant, si une dose de médicament est introduite et que la concentration augmente, il y aura un effet qui va augmenter le taux de mortalité au-delà de \[δ\].
Si le médicament réduit le taux de reproduction des cellules, le modèle inclut une fonction d’effet décroissante dans l’équation différentielle.
\[\frac{dX}{dt} = β ⋅ E(t) ⋅ X(t)\,-\,δ ⋅ X(t)\]
Lorsqu’il n’y a pas de médicament, l’effet est de 1 et la croissance suit le taux \[β\]. Quand les concentrations plasmatiques du médicament ne sont pas nulles, alors la fonction d’effet décroissante va réduire le taux de reproduction en-dessous de \[β\].