Quelques notions de base
Lorsqu’une équation met en relation une fonction, comme \[X(t)\], avec une ou plusieurs de ses dérivées, comme \[\frac{dX}{dt}\], on obtient alors une équation différentielle. Puisque la fonction ne contient qu’une seule variable \[t\], il s’agit plus spécifiquement d’une équation différentielle ordinaire (EDO).
\[\frac{dX}{dt}=λ⋅X\]
L’équation différentielle qui représente une tumeur qui croît de façon exponentielle est dite « linéaire », puisque le membre de droite de l’équation est formé exclusivement de termes linéaires par rapport à la fonction \[X(t)\]. Cependant, il existe aussi des équations non linéaires ; quelques-unes seront vues dans la prochaine activité.
Remarque
Il existe une relation entre le temps de doublement \[T_d\] des cellules et le paramètre \[λ\] pour la croissance exponentielle.
\[T_d=\frac{ln(2)}{λ}\]
Cette même relation existe aussi pour la décroissance exponentielle, comme pour la demi-vie \[t_{1/2}\]
. Dans ce cas, l’équation différentielle aura un signe négatif pour signifier la décroissance.
\[\frac{dX}{dt}=-λ⋅X\] \[t_{1/2}=\frac{ln(2)}{λ}\]
Il est possible de résoudre cette équation différentielle en utilisant le calcul intégral et la condition initiale \[X_0\] : on obtient alors la fonction exponentielle \[X(t)\] de départ. Les deux représentations sont donc équivalentes pour représenter la croissance exponentielle.
Cependant, pour des équations différentielles plus complexes, il s’avère très difficile de déterminer la solution. L’utilisation d’algorithmes est alors privilégiée pour résoudre numériquement sans avoir besoin de la solution mathématique explicite. Pour ce faire, les algorithmes ont besoin de l’équation différentielle avec les valeurs des divers paramètres tels \[λ\], la condition initiale de la population \[X_0\] ainsi que la période sur laquelle la simulation est souhaitée (généralement de 0 à un temps \[t_{final}\] préalablement choisi). Ces algorithmes permettent d’observer l’évolution de la population entre 0 et \[t_{final}\] en fonction des paramètres de l’équation sans avoir recours à la solution de l’équation différentielle.