La dérivée

La dérivée est une fonction très utile, car elle permet d’observer le taux de variation d’une fonction. Pour une population de cellules cancéreuses, cela est beaucoup plus représentatif de la réalité puisque la dérivée permet d’observer la vitesse à laquelle la population croît OU décroît au fil du temps. En effet, chaque cellule cancéreuse se divise à un moment aléatoire dans le temps et meurt à un moment aléatoire dans le temps.

Dans le cas de la croissance exponentielle, la dérivée de \[X(t)\] est elle aussi une fonction exponentielle croissante et s’exprime par l’équation suivante :

\[\frac{dX(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (X_0 e^{λt} )= λ⋅X_0 e^{λt}=λ⋅X(t)\]

Dans le cas présent, la variation de la population est proportionnelle à la population elle-même, mais en considérant le paramètre \[λ\].

Dans le graphique suivant, il est possible de modifier le paramètre \[λ\] de l’équation pour en voir les effets sur la courbe.

Cette relation entre la fonction \[X(t)\] et sa dérivée \[\frac{dX(t)}{dt}\] permet de rapidement déterminer de quelle façon la population \[X(t)\] varie dans le temps. Plus spécifiquement, lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante et lorsque la dérivée est négative, la fonction est décroissante. De plus, elle amène une nouvelle représentation de la croissance exponentielle sous la forme d’une équation différentielle linéaire.

\[\frac{dX}{dt}=λ⋅X\]