Équation d'une population
Le modèle de Verhulst est un modèle non linéaire de croissance d’une population dont la solution est une équation logistique. À la base, l’équation différentielle de ce modèle ressemble à celle de la croissance exponentielle, mais en ajoutant un terme incluant le nouveau paramètre \[K>0\] , qui représente la taille maximale de la population. L’équation s’exprime alors de la façon suivante :
\[\frac{dX(t)}{dt}=λ⋅X(t)⋅\left(1-\frac{X(t)}{K}\right)\]
Lorsque la population actuelle est plus petite que la taille maximale \[(X(t)<K)\], le ratio \[\frac{X(t)}{K}\] devient plus petit que 1 et le terme \[(1-\frac{X(t)}{K})\] est alors positif. Comme \[λ>0\] et \[X(t)>0\], le taux de variation est positif et la population croît.
Plus la population approche de la taille maximale \[(X(t) \to K)\], plus le ratio \[\frac{X(t)}{K}\] tend vers 1 et le terme dans la parenthèse devient petit, ce qui a pour effet de réduire considérablement la vitesse de croissance de la population. Cette dernière va donc croître de plus en plus lentement en approchant \[K\] sans jamais dépasser sa taille maximale, puisque \[K\] est une asymptote horizontale de la solution de l’équation.
Remarque
La solution du modèle logistique est :
\[X(t) = K ⋅ \frac{1}{1+(\frac{K}{X_0}-1)e^{-λt}}\]
Cette solution est plus complexe que celle du modèle exponentiel, mais fait aussi appel aux deux paramètres du modèle, \[λ\] et \[K\], ainsi qu’à la condition initiale \[X_0\]. L’écriture de la croissance logistique sous cette forme est moins pratique que l’équation différentielle.