Équation d'une population
Le modèle de Gompertz est un autre modèle non linéaire qui utilise une idée similaire au modèle de Verhulst pour réduire la croissance en utilisant le paramètre \[K>0\] pour la taille maximale.
\[\frac{dX(t)}{dt}=λ⋅X(t)⋅ln\left(\frac{K}{X(t)}\right)\]
Le signe de la dérivée suit le signe du terme logarithmique puisque \[λ>0\] et \[X(t)>0\]. Ainsi :
- Lorsque la population est plus petite que la taille maximale \[(X(t)<K)\], le terme logarithmique est positif, ce qui implique un taux de variation positif et donc la croissance de la population.
- Lorsque la population approche la taille maximale, c’est-à-dire quand \[X(t)\to K\], le terme \[\left(\frac{K}{X(t)}\right)\] à l’intérieur du logarithme tend vers 1, ce qui fait que le logarithme tend vers 0. Ceci a pour effet de ralentir la vitesse de croissance de la population vers une asymptote horizontale en \[X = K\].
Remarque
La solution du modèle de Gompertz est :
\[X(t) = Ke^{ln(\frac{X_0}{K})e^{-λt}}\]
Comme les modèles précédents, cette solution contient les deux paramètres \[λ\] et \[K\] ainsi que la condition initiale \[X_0\]. Au même titre que le modèle logistique, la solution du modèle de Gompertz est plus complexe puisqu’elle combine une fonction exponentielle dans une fonction exponentielle.
../../wp-content/uploads/sites/218/2024/08/material-wbzuvdat.ggb{"height":"600","width":"800","allowStyleBar":false,"allowUpscale":false,"apiUrl":"https://api.geogebra.org","canary":false,"enableLabelDrags":false,"enableRightClick":false,"enableShiftDragZoom":false,"errorDialogsActive":true,"fixApplet":false}